voeto.ru страница 1
скачать файл

Корепанова Зоя Ивановна

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш.А.Алимов и др.

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цели урока:
Обучающие: изучить понятие наибольшего и наименьшего значения функции;

изучить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции.


Развивающие: способствовать развитию внимания;

совершенствовать умения вычислять производные;

формировать умения осуществлять самоконтроль в процессе самостоятельной работы.

.

Воспитательные: создать условия для воспитания чувства ответственности, толерантности, навыков коммуникативной компетентности.


Оборудование урока: кейс
Ход урока:

1.Организационный момент.


2.Представление кейса.

У каждого ученика есть кейс. В течение двух уроков мы будем работать с данным кейсом

.

Разберём как с ним работать.

а. Кейс имеет название, которое соответствует теме нашего урока.


б.Рассмотрите цели нашего урока.
в.Рассмотрите режим работы , и обратите внимание какая часть задания приходится на первый урок ,а какая часть на второй.
г.Прочитайте правила работы с кейсом и приступайте к теоретической части.
д.Второй урок начнётся с того , что по четыре человека ,т.е. в микрогруппах вы будете обсуждать выполненные задания и ответы к вопросам. После этого правильность выполнения будем проверять всем классом.
е.В конце второго урока вы, согласно таблице самооценивания, поставите баллы.

3. Повторение .

1) Тест:

 1. Найдите значение производной функции y=2x+2cosx в точке х0=0

1) 1 2) 2 3) 3 4) 0

2. Найдите производную функции y=x6- 4sinx

1) y'=6x5+4cosx

2) y'=6x5-4cosx

3) y'=x7/7+4cosx

4) y'=x5-4cosx

3. Найдите производную функции y=x4-3x2+2x-1

1) y'=10x3-15x+x2

2) y'=10x3-6x+2

3) y'=x5-x3+x2-x

4) y'=5x3-5x+x2

4. Найдите значение производной функции y = x- sinx в точке x0=0

1) 0 2) -1 3) 1 4) +1

2) Подумай.

а)Функция y =f(x) определена на промежутке(-6;3). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку a, в которой функция y =f(x) принимает наименьшее значение.

 

f'(x )<0 на (-6;2), f'(x )>0 на(2;3), значит, функция сначала убывает, а потом возрастает, следовательно в точке а=2 функция принимает наименьшее значение

Ответ: 2

. б) Функция у = f(x) определена на промежутке(-4;3). На рисунке изображен график её производной. Найдите точку а, в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение.



На (-4;2) f'(х)>0, значит функция возрастает на этом промежутке.

На (2;3) f'(x)<0, значит функция убывает на этом промежутке.

В точке а=2 функция принимает наибольшее значение.

Ответ:2

3. Графический диктант.

Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да-^ нет- __

а) В точке возрастания функции её производная больше нуля.

б) Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум.

в) Производная произведения равна произведению производных.

г) Всякая стационарная точка является точкой экстремума.

д) Любая точка экстремума является критической точкой.
4.Изучение нового материала

Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.

Разработка вариантов индивидуальных решений.
5.Усвоение нового материала

Обсуждение вариантов индивидуальных решений в каждой

микрогруппе.

Вопросы для обсуждения.


6.Итог урока

Каждый ученик записывает баллы в тетраде по таблице самооценивания.

У каждого ученика есть анкета, которую он заполняет и сдаёт учителю.

Кейс « Наибольшее и наименьшее значения функции»
1.Глава- Применение производной к исследованию функций
2.Цели занятия:

Знать: определение наибольшего и наименьшего значения функции;

Уметь: составлять алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции; уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций.

3.Режим работы

а) Представление кейса.

б) Повторение изученного материала.

в) Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.

г) Обсуждение решений в каждой микрогруппе.

д) Вопросы для обсуждения.

е) Подведение итогов.

4. Правила работы над кейсом.

Все решения заданий следует записывать в тетради. Переписывать в тетрадь задания и чертежи не требуется, если это не предусмотрено самим заданием.

В данном кейсе нельзя писать решения. Внимательно читайте теоретический материал и выполняйте практические задания индивидуально по порядку. За консультацией можно обращаться к учителю. Следите за временем, отведенным на каждый этап работы.

Этапы работы:

1.Представление кейса -5 мин.

2.Повторение материала-5мин.

3.Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.

Разработка вариантов индивидуальных решений-35 мин.

4.Обсуждение вариантов индивидуальных решений в каждой микрогруппе-25мин.

5.Вопросы для обсуждения -15 мин.

6.Подведение итогов-5мин.

1.Теоретический материал

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как говорят, оптимального решения поставленной задачи. Как располагая определенными ресурсами добиться максимальной прибыли, минимальных потерь, наименьших затрат времени и. т. п. Вы уже имеете некоторый опыт нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Чаще всего использовали для этого график функции, что не всегда удобно. Подобные задачи поддаются исследованию с помощью методов математического анализа.



Анализируя рисунки, можно сделать выводы:



  • Если функция непрерывна на  отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

  • Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

  • Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Как известно такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке xo отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т.е. при xo = а, или xo= b. Если хo (a; b) то точку xo следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на (а; b):

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

1) найти критические точки функции на интервале (а; b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b,

4) среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических точек , то это означает, что значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

2.Изучи решение задания:

1.Найдите на отрезке [-1; 4] наименьшее значение функции f(х) = х3-3х2- 9х + 31.

Решение. Выполняем стандартный план.

f/(х) =3х2 -6х – 9, х2 – 2х – 3=0, х1 = -1, х2 =3.

f (-1) = 36, f(3) = 4, f(4) =64-48-36+31>4.

2.Найдите на отрезке [-2; 3] наибольшее значение функции f(х) =-х3+12х-14

Решение: f/ (х)= -3х2+12, f/ (х)=0 при х = ±2.

f (-2)=8-24-14=-30, f(2)= -8 + 24 – 14 = 2, f(3)= -27+36-14<0. Наибольшее значение на данном отрезке функция принимает при х = 2.

3.Найдите на отрезке [0;π/4] наименьшее значение функции у = 11tgх – 11х + 16

Решение. Найдём производную у/= 11/cоs2х – 11.

Производная положительна во всех точках данного числового отрезка, кроме его левого конца х=0, где она обращается в нуль. Значит, функция на данном отрезке возрастает и её наименьшее значение при х = 0 равно 0 – 0 +16 = 16.

4.Найдите наибольшее значение функции у = 19 – 2cos х – 18х/π на отрезке

[ -2π/3; 0]

Решение. Найдём производную данной функции:

у' = 2sin х – 18/π. Поскольку 18/π >3, а 2sin х<3, то значение производной отрицательно при любом значении х. Поэтому функция у = 19 – 2cos х – 18х/π убывает на всей числовой оси и, значит, достигает своего наибольшего значения на отрезке в левом конце отрезка, т.е. в точке -2π/3. Найдём это наибольшее значение :

у(-2π/3) = 19 – 2cos(-2π/3) - 18/π ·(-2π/3) = 19+1+12 = 32.

5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f (х) = 2cos х – соs2х на отрезке [0;π].

Решение: найдём производную f(х) =-2sin х + 2sin2х, -2sin х + 2sin2х=0

-2sinх =0 и 1-2соsх =0

х=πn, nЄZ, и х=±π/3+2πn, nЄZ

π/3Є[0;π].

2соs0-cos0=2·1-1=1

2cоsπ-cоs2π=2·(-1)-1=-2-1=-3 наименьшее значение функции

2cos π/3-cos2π/3=2·1/2-(-1/2)=1+1/2=1,5 наибольшее значение функции.

3.Самостоятельное решение заданий:

1)Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Ответ: .

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции ;

Ответ.

3) ;

Ответ.

4)Найти наименьшее значение функции у = 6cosх – 10х+1 на отрезке [-3π/2; 0]

Ответ: унаим.=7

Найдите наибольшее значение функции у=4√2сosх+4х-π-1 на отрезке [0;π/2]

Ответ: унаиб.=3

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = на отрезке [0;4]

Ответ: yнаим= f(0) = –1; yнаиб = f(4) = .

6)Найти на отрезке [4;6] наименьшее значение функции у= (х2-7х+7)eх-5

Ответ: : унаим.=-3

7) Найти наименьшее значение функции  y = 0,25x + x2 + ()2


Ответ: унаим.= 0,5

8) Найдите наименьшее значение функции 




Объясни решение задания



I способ

Запишем функцию в виде

Область определения функции: sin3x + 50 sin3x  –5

Справедливо для любого х.



Так как рассматриваемая функция периодическая с периодом , то рассмотрим поведение функции и ее производной на отрезке



Наименьшее значение функция принимает  в точке .





Ответ: 2

II способ

Запишем функцию в виде

Область определения функции: sin3x+50 sin3x  –5

Справедливо для любого х.

Е (sin3x) = [–1; 1]
E (sin3x + 5) = [4; 6]

Функция  возрастает на [4;6], следовательно, наименьшее значение принимает в точке 4.





Ответ: 2

4.Вопросы для обсуждения:

1.Верно ли, что на отрезке наименьшее значение функция принимает в точке минимума?

2. Приведите пример функции(изобразите на графике), имеющий на отрезке[а;b] максимум и принимающий наибольшее значение на конце отрезка.

3.Как найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции, если она имеет несколько критических точек на отрезке? Если она не имеет критических точек на этом отрезке?


4. Критерии самооценивания.





Наименование критерия

колич. баллов

1

2

3



4

5

6



7

8

9



10


Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Работа в микрогруппе.

Участие в обсуждении.




2

2

4



4

2

2



2

5

2



2

№ 1,2,3,4,5,6,7,8

0 – не выполнено.

1 – выполнено не полностью либо выполнено с ошибкой.

2 – выполнено верно.


№ 9,10

  1. не принял участия

1 – принял участие

2- активное участие.

5. Анкетный опрос

1

2


Фамилия _______________________________Класс__________________

Сегодня на уроке я вспомнил (а):__________________________________

_______________________________________________________________

я узнал (а):_____________________________________________________

______________________________________________________________

я научился (ась):________________________________________________

______________________________________________________________

мне понравилось:_______________________________________________

______________________________________________________________

я бы изменил (а):_______________________________________________

______________________________________________________________

требуется помощь учителя _______________________________________

_______________________________________________________________


3

Сумма баллов за мою работу на уроке:

6.Итог урока



скачать файл



Смотрите также:
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др. Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
90.25kb.
Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе. Тема: Методы решения тригонометрических уравнений. Цели: систематизировать знания учащихся по тригонометрии
24.59kb.
Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе на тему Тригонометрические уравнения
80.44kb.
Рабочая программа по алгебре и началам математического анализа для 10 а класса
591.19kb.
Учебник для 7 класса средней школы под редакцией С. А. Теляковского Москва Просвещение 1991; Контрольные и проверочные работы по алгебре 7 класс Методическое пособие Дрофа Москва 2005
140.23kb.
Примерная программа среднего (полного) общего образования (базовый уровень) по алгебре и началам анализа
149.37kb.
Календарно-тематическое планирование по алгебре и началам анализа для 9 класс
102.88kb.
Рабочая программа рассчитана на 105 часов по 3 часа в неделю Учебных недель 35 Всего 105 часа
602.37kb.
Лабораторная работа №1. Интерполяция
45.28kb.
Рабочая программа по алгебре и началам анализа для 10А класса, 3 часа в неделю, всего 102 часа
35.82kb.
Рабочая программа разработана на основе примерной программы среднего (полного) общего образования по технологии (базовый уровень). учебник «Технология»: 10-11 класс
107.86kb.
Учебник для 5 классов «Технология» (вариант для мальчиков) под редакцией В. Д. Симоненко. М.: Вентана-Граф, 2007
487.55kb.