voeto.ru страница 1
скачать файл
О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЕ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМИ РАСШИРЕНИЯМИ 2-ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ГРУППЫ L2(Р)1
Д.Н.Панюшкин Guohua Qian Wujie Shi

Пусть ℜ — множество конечных групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из множества группℜ, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ℜ. В работе доказывается, что периодическая группа Шункова, насыщенная группами из множества ℜ = {L2(p) х Iп}, где Iп — прямое произведение п экземпляров групп порядка 2, р простое нечетное число, является локально конечной.


Введение

Пусть G — группа, a ℜ — некоторое множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из множества групп ℜ, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из ℜ [7].

В работе [6] А.К. Филипповым доказана локальная конечность периодической группы Шункова (бесконечная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу), насыщенной группами из множества ℜ= {L2(q) x Z2}. где Z2 группа порядка 2. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в работе [4] исследовали периодическую группу, насыщенную группами из множества ℜ= {L2(q) х Z2}. Самым интересным и сложным в исследовании оказался случай, когда q степень числа 2. Доказать локальную конечность для этого случая так и не удалось. Поэтому естественно рассмотреть группу, насыщенную похожими множествами групп, в каждой из которых силовская 2-подгруппа содержит элементарную абелеву 2-группу сколь угодно большого ранга.

Пусть In = Z2 х Z2 х … х Z2. Тогда верна следующая теорема.


n раз

Теорема 1. Бесконечная периодическая группа Шункова G, насыщенная группами из множества = {L2(р) x In|n = 1,2,...}, где р — простое нечетное число, локально конечна и изоморфна L2(р) x N, где N — бесконечная группа периода 2.

1. Используемые результаты



Предложение 1 ([1], [9]). Пусть G = L2(p), где р — степень простого нечетного числа р. Тогда справедливы следующие утверждения:



  1. Силовская р-подгруппа Р группы G циклическая порядка р и В = Ng(P) = Р ג Н - группа Фробениуса с ядром Р и циклическим неинвариантным множителем Н порядка (р - 1)/2.

  2. СG(b) = (b) для любого 1 bЄ Р.

  3. Силовская 2-подгруппа группы G является группой диэдра.

  4. Все инволюции из G сопряжены и централизатор любой из них — группа диэдра порядка р - 1 или р + 1 в зависимости от того, какое из этих чисел делится на 4.

  5. Если р > 5, то все элементарные подгруппы порядка 4 из G совпадают со своими централизаторами. Если V одна из этих подгрупп, то Ng(V) изоморфна S4 или A4 в зависимости от того, делится ли порядок G на 8 или нет

  6. Если р > 5, то G порождается любыми двумя различными централизаторами инволюций.

Предложение 2 ([3], теорема Шмидта). Расширение локально конечной группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная группа.

Предложение 3 ([5]). Периодическая группа, насыщенная группами из множества = {L2(q)}, локально конечна и изоморфна группе L2(Q) для подходящего локально конечного поля Q.

Предложение 4 ([8]). В группе Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа.

Предложение 5. Пусть G = L2(p) и a,b — элементы порядка p из G, такие, что b Є (а). Тогда |[аi,bk] | = р для некоторых целых 1≤ i,k ≤ р-1.

2. Доказательство теоремы

До конца параграфа G означает бесконечную периодическую группу Шункова, насыщенную группами из множества = {L2(р) х Iп|п = 1,2,...}, где р - простое нечетное число, In = Z2 х Z2 х х Z2 . Для любой конечной подгруппы К из G обозначим через (К) n раз

множество всех подгрупп из G, содержащих К и изоморфных группам из ℜ.



Лемма 1. Пусть a,u,v Є G, |a| = р, |u| = |v| = 2 и (u,v) С СG(а). Тогда uv = vu.

Доказательство. По условию насыщенности конечная группа (u,v,a) с L х In Є (( u, v, а)). Ясно, что a Є L. Так как и инволюция, то и = lиiи, где lu Є L и |lи| ≤ 2, iи Є Iп и |iu| ≤ 2. Если |lu| = 2, то luiuaiulи = lualu = а, поскольку и Є Сg(a). Но тогда Cl(а) (а), что невозможно. Следовательно, lu = 1 и и Є In. Совершенно аналогично доказывается, что v Є Iп, а значит, uv = vu. Лемма доказана.

Лемма 2. В G существует бесконечная группа периода 2.

Доказательство. По предложению 4 в G существует бесконечная локально конечная подгруппа, а значит, по [3], существует бесконечная абелева подгруппа I(1). По [3] I(1) разлагается в прямое произведение своих силовских q-подгрупп, т.е. I(1) = I2(1)х I2(1) , где I2(1)— силовская 2-подгруппа группы I(1) , а I2(1) - прямое произведение силовских 2'-подгрупп. Нетрудно видеть, что |I2(1) | ≤ |L2(p)|, а значит, I2(1) — бесконечная группа периода 2. По лемме Цорна [3] в подгруппе периода 2 можно выбрать максимальную. Пусть это группа I. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть a, b Є G, |a| = |b| = р и b Є (а). Тогда элементы а и bк для некоторого целого 1≤ k ≤ р - 1 сопряжены в G.

Доказательство. По условию насыщенности конечные группы

(а,аь) С La х Inа Є ℜ((а,аь)),

(b,ba) CLbx Inb Є ℜ ((b,bа)),



где La~Lb~L2(q). Так как порядок элемента [ai, bj] для некоторых i, j равен p (предложение 5), то без ограничения общности можем считать, что |[a, b]|| = p. Но тогда элемент a сопряжен в La с [а,b]m для некоторого целого 1 ≤ m ≤ р - 1, а элемент bк для некоторого целого 1≤ к ≤ р - 1 сопряжен в Lb с [a, b]m. Следовательно, a и bк также сопряжены. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть a Є G и | a | = р. Тогда CG(a) = (a) x Ia, где Iа — бесконечная элементарная абелева группа периода 2.

Доказательство. Пусть In(1) — конечная подгруппа из I. где I — группа из леммы 2. По условию насыщенности In(1) С L1 х In1 Є (In(1)), где L1 ~ L2(p) — группа, порожденная элементами порядка p. Так как число n можно выбрать сколь угодно большим и в группе L1 максимальной подгруппой периода 2 является четверная подгруппа, то | In(1) : In(1) ∩ In1 | ≤ 4 и можно считать, что In(1) С In1 (в противном случае In(1) ∩ In1 = In(1)), Тогда In(1) С Cg(ax1) для некоторого x1 Є G. Рассмотрим цепочку

In1 С In2 С… С Ink С…



В каждом элементе этой цепочки найдется подгруппа Ini (i) индекса не больше четырех, такая, что Ini (i) С Сg(ax) для некоторого х ЄG. Так как все элементы порядка p (или некоторые их степени), не принадлежащие одной циклической группе порядка p, сопряжены , то СG(а) содержит конечную группу периода 2 сколь угодно большого порядка. Таким образом СG(а) — бесконечная группа, а фактор-группа С = СG (a) / (а) — бесконечная группа периода 2. Действительно, в противном случае, фактор-группа С содержит элемент нечетного порядка q, который очевидно либо равен р, либо должен делить числа p - 1 или p + 1, то в централизаторе СG (a) найдется элемент b либо порядка p либо порядка qp. Тогда по условию насыщенности (a, b) С La,b х Inab Є ((a,b)). Но в группе La,b х Inab нет элементов aиb, удовлетворяющих указанным условиям. Противоречие. Следовательно, С — 2-группа. Пусть х Є С и |х| = 4. Тогда прообраз х этого элемента в СG(a) имеет порядок 4 или 4p, что снова невозможно ввиду условия насыщенности. Итак, С — группа периода 2 и, значит, элементарная абелева группа. Тогда СG(а) = (а) х Iа, где Ia — бесконечная элементарная абелева группа периода 2. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть s Є СG(a), где | a | = р, |s| = 2. Тогда s централизует все элементы порядка р.

Доказательство.



Предположим противное и пусть инволюция s не перестановочна с некоторым элементом b порядка p . По условию насыщенности конечная группа (s, b) С L х In Є ℜ((s,b)). Ясно, что b Є L. Так как bs b, то s Є In и s = s1s2, где 1 ≠ s1 Є L, s2 Є In . Тогда в L существует элемент с порядка р, который инвертируется инволюцией s1. Действительно, в L существует некоторая инволюция х и элемент d порядка p, для которых dx=d-1. В силу сопряженности всех инволюций из L (предложение 1) si = ху для некоторого у Є L.

Тогда

(dx) = (dy)хУ = (dy)s1

и, в то же время,

(dx)y = (d-1)y = (dy)-1.

Обозначим с = dy. Итак, cs1 = с -1, где с — элемент порядка р из L. Тогда с8 = csls2 = cs1 = с -1. Поскольку с Є (а) и элементы а и ck для некоторого целого k сопряжены в G (лемма 3), то (s, а, с) = (а, с) ג (s) — конечная группа и по условию насыщенности (s,a,c) С Ls х Ins Є ℜ((s, a, с)). Очевидно, что а,с Є Ls и s Є Ins (так как s Є СG(а)). Но тогда cs = с. Противоречие. Итак, s централизует все элементы порядка р. Лемма доказана.



Лемма 6. Пусть а,bэлементы порядка р из G и СG(a) = (a) x Ia, CG(b) = (b) х Ib. Тогда для Ia = Ib

Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что Iа с Ib и Ib с Ia. Следовательно, Ia = Ib. Лемма доказана.



Лемма 7. Пусть а — элемент порядка р из G и СG (а) = (а) х Iа. Тогда N = (Iag|g Є G) - бесконечная группа периода 2 и N < G.

Доказательство. Как показано в лемме 6 Ia = Iag для любого q Є G. Тогда N — элементарная абелева группа. То, что она нормальна, вытекает из ее определения. Лемма доказана.



Лемма 8. G = L2(р) х N.

Доказательство. Рассмотрим фактор-группу G = G/N. Пусть К — конечная подгруппа из G и К ее некоторый конечный прообраз в G (такую группу К можно выбрать, так как N, а значит и полный прообраз группы К, есть локально конечная группа). По условию насыщенности конечная группа К С Lk х Iпк Є (К). Ясно, что Lk c N. Покажем, что Iпк С N. Поскольку LK порождается элементами порядка р и Iпк с CL(a) для некоторого элемента а порядка р из Lк, то Inк с СG(а). Значит, Inк с CG(а) = (а) х Iа, т.е. Inк с Iа. Но Iа = N, значит и Inк с N. Тогда

К c(LK x InK)N/N = (LK х InK)/(LK x Inк) N = (LK х Iпк)/Iпк ~LK ~ L2(5).

Таким образом, фактор-группа С насыщена группой L2(p). По предложению 3 G = G/N - конечная группа, изоморфная группе L2). Тогда по теореме Шмидта G локально конечная группа и G = LN, где L ~ L2(р).

Покажем, что NL = 1. Предположим противное и пусть 1 ≠ s Є N∩L. По определению группы N (лемма 7) s — инволюция и s Є СG(а) для некоторого элемента а порядка р из G. С другой стороны, если s Є L, то в L существует элемент с порядка р, который инвертируется инволюцией s. Действительно, в L существует некоторая инволюция х и элемент b порядка р, для которых bх = b-1. В силу сопряженности всех инволюций из L (предложение 1) s = ху для некоторого у Є L. Тогда

(bx)у = (bу)хУ = (bу)-1

и, в то же время,

(bх)у = (b-1)= (bу)-1.



Обозначим с =bу. Итак, cs = с-1, где с — элемент порядка р из L. Поскольку в G все элементы порядка р (некоторые их степени) сопряжены (лемма 3), то (s, а, с) = (а, с) ג (s)- конечная группа и по условию насыщенности (s, a, с) С L х In Є ℜ((s, a, с)). Очевидно, что а, с Є L и s Є In (так как s Є СG((а)). Но тогда cs = с. Полученное противоречие означает, что NL = 1 и N централизует все элементы порядка р. Так как L порождается элементами порядка р, то N централизует всю группу L. Поэтому имеет место разложение G = L х N. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны.

Литература

  1. Бусаркин, В.М. Конечные расщепляемые группы / В.М. Бусаркин, Ю.М. Горчаков. — М.: Наука, 1968. 120 с.

  2. Горенстейн, Д. Конечные простые группы / Д. Горенстейн. - М.: Мир, 1985. 350 с.

  3. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. - М.: Наука, 1977. 240 с.

  4. Лыткина, Д.В. О периодических группах, насыщенных L2(q) и ее центральными расширениями / Д.В. Лыткина, К.А. Филиппов // Матем. системы - Красноярск: КрасГАУ. - 2006, №5. -С. 35-45.

  5. Рубашкип, А.Г. Группы, насыщенные различными множествами конечных групп. Дисс. канд. физ­мат. наук. Красноярск, 2005.

  6. Филиппов, К.А. Группы, насыщенные конечными пеабелевыми простыми группами и их центральными расширениями. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2005.

  7. Шлепкин, А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы / А.К. Шлепкин // Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 369.

  8. Шлепкин, А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Красноярск, 2003. 130 с. 1998.

  9. Hupperl,, В. Endliche Gruppen /B.Iluppert L. - В.: Springer, 1967.





1


скачать файл



Смотрите также:
О периодической группе шункова, насыщенной центральными расширениями 2-групп посредством группы l2(Р)1
297.87kb.
У глерод (лат. Carboneum), с химический элемент IV группы периодической системы Менделеева
66.78kb.
Виды и наименование групп (указываются по каждой группе доу) Количество групп
38.21kb.
Теория групп
12.54kb.
Курсовая работа студентки 15 группы Коршуновой Юлии Александровны " Металлы жизни. Марганец "
169.3kb.
Развитие элементов логического мышления посредством развивающих игр у детей 5-го жизни
243.8kb.
Н. В. Потапова. Некоторые проблемы управления Центральными и Северными Курилами 1867-1875 гг
19.02kb.
Описание одного класса конечных групп
123.56kb.
"Применение первого закона термодинамики к различным процессам"
90.21kb.
Система фермиевских частиц
174.74kb.
Розробка уроку інформатики Підготував: учитель інформатики Пономарьов О. В
37.34kb.
«Развитие математических способностей у детей 5 – 7 лет групп компенсирующей направленности в игровой деятельности». Скарюкина Ирина Геннадьевна Воспитатель группы компенсирующей направленности мбдоу «Детский сад комбинированного вида №13
82.35kb.