voeto.ru страница 1
скачать файл


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


В
СЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине финансовая математика
Вариант № 6

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1

Квартал

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство

36

46

55

35

39

50

61

37

42

54

64

40

47

58

70

43

Требуется:



  1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3;α2=0,6; α3=0,3.

  2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

  3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

  • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

  • независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

  • нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

  1. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

  2. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.


Решение:

    1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

где k - период упреждения;



Yp(t) - расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

a(t), B(t), F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L - период сезонности (для квартальных данных L=4).
Коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)=α1*Y(t)/F(t-L)+(1-α1)*[a(t 1)+b(t-1)];

b(t)=α3*[a(t)-a(t-1)]+(1-α3)*b(t-1);

F(t)=α2*Y(t)/a(t)+(1-α2)*F(t-L).




Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные (таб. 1).

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы. Линейная модель имеет вид:


Таблица 2

Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов



 

t

Y(t)

Y(t)-Yср

t-tср

(t-tср)2

(Y(t)-Yср)*(t-tср)

Yp(t)

 

1

36

-8,9

-3,5

12,3

31,1

51,4

 

2

46

1,1

-2,5

6,3

-2,8

46,4

 

3

55

10,1

-1,5

2,3

-15,2

43,0

 

4

35

-9,9

-0,5

0,3

4,9

41,3

 

5

39

-5,9

0,5

0,3

-2,9

41,3

 

6

50

5,1

1,5

2,3

7,7

43,0

 

7

61

16,1

2,5

6,3

40,3

46,4

 

8

37

-7,9

3,5

12,3

-27,6

51,4

сумму

 

359

 

 

42

35,5

364,07

среднее

4,5

44,875

 

 

5,25

 

 

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:



Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения a(0), b(0).





a(0) = Yср – b(0)*tср = 44,9 - 0,845*4,5=41,07.
Тогда линейное уравнение будет иметь вид: Yp(t)=41,07+0,845*t

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями.

(таб. 3).
Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)



t

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(t)

36

46

55

35

39

50

61

37

Yp(t)

41,92

42,76

43,61

44,45

45,30

46,14

46,99

47,83

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса. Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yp(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yp(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2= 0,8599,

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=1,0797;

F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=1,2797$

F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=0,7804;

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая что t=0, k=1, находим Yp(1):



Yp(0+1)=Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3)=36,04

Из уравнений, полагая, что t=1, находим:



a(1)=α1*Y(1)/F(-3)+(1-α1)*[a(0)+b(0)]=41,90

b(1)=α3*[a(1)-a(0)]+(1-α3)*b(0)= 0,84

F(1)=α2*Y(1)/a(1)+(1-α2)*F(-3)=0,8595;
Аналогично рассчитаем значения Yp(T), a(t). B(t) и F(t) для t=2

Yp(2)=[a(1)+1*b(1)]*F(-2)=46,15

a(2)=α1*Y(2)/F(-2)+(1-α1)*[a(1)+b(1)]=42,70

b(2)=α3*[a(2)-a(1)]+(1-α3)*b(1)=0,83

F(2)=α2*Y(2)/a(2)+(1-α2)*F(-2)=1,0782;

для t=3:



Yp(3)=[a(2)+1*b(2)]*F(-1)=55,71

a(3)=α1*Y(3)/F(-1)+(1-α1)*[a(2)+b(2)]=43,36

b(3)=α3*[a(3)-a(2)]+(1-α3)*b(2)=0,78

F(3)=α2*Y(3)/a(3)+(1-α2)*F(-1)=1,2729;

для t=4:



Yp(4)=[a(3)+1*b(3)]*F(0)=35,27

a(4)=α1*Y(4)/F(0)+(1-α1)*[a(3)+b(3)]=44,35

b(4)=α3*[a(4)-a(3)]+(1-α3)*b(3)=0,84

F(4)=α2*Y(4)/a(4)+(1-α2)*F(0)=0,7856

для t=5:



Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=38.84

a(5)=α1*Y(5)/F(1)+(1-α1)*[a(4)+b(4)]=45,25

b(5)=α3*[a(5)-a(4)]+(1-α3)*b(4)=0,86

F(5)=α2*Y(5)/a(5)+(1-α2)*F(1)=0,8609;

Продолжая аналогично для t=6,7,8,…16, строится модель Хольта-Уинтерса. При использовании MS Office Excel составим следующую таблицу с введением соответствующих формул в нужные ячейки, что облегчит процесс вычисления (таб. 4).



Таблица 4

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Yp(t)

Абсолютная погрешность Е(t)

Относительная погрешность в %




1

2

3

4

5

6

7

8




-3

 

 

 

0,8599

 

 

 




-2

 

 

 

1,0797

 

 

 




-1

 

 

 

1,2797

 

 

 




0

 

 

 

0,7804

 

 

 




1

36

41,90

0,84

0,8595

36,04

-0,0445

-0,001237




2

46

42,70

0,83

1,0782

46,15

-0,1464

-0,003183




3

55

43,36

0,78

1,2729

55,71

-0,7059

-0,012835




4

35

44,35

0,84

0,7856

35,27

-0,2726

-0,007790




5

39

45,25

0,86

0,8609

38,84

0,1558

0,003995




6

50

46,19

0,88

1,0808

49,72

0,2848

0,005697




7

61

47,33

0,96

1,2825

59,92

1,0848

0,017783




8

37

47,93

0,85

0,7775

37,93

-0,9344

-0,025254




9

42

48,78

0,85

0,8610

41,99

0,0052

0,000123




10

54

49,73

0,88

1,0838

53,64

0,3554

0,006582




11

64

50,40

0,82

1,2749

64,91

-0,9141

-0,014282




12

40

51,29

0,84

0,7789

39,82

0,1801

0,004502




13

47

52,87

1,06

0,8778

44,88

2,1214

0,045137




14

58

53,80

1,02

1,0803

58,45

-0,4457

-0,007685




15

70

54,85

1,03

1,2757

69,90

0,1018

0,001454




16

43

55,68

0,97

0,7750

43,53

-0,5271

-0,012258




Итого:

779

 

 

 

 

0,30

8,00






    1. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 8,00, что дает среднюю величину 8,00/16=0,5%. -0,5<5%

Следовательно, условие точности выполнено.




  1. Проверка условия адекватности.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл.5).

Таблица 5



Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t

E(t)

Точки поворота

E(t)2

[E(t)-E(t-1)]2

E(t)*E(t-1)

1

2

3

4

5

6

1

-0,045

-

0,002

-

-

2

-0,146

1

0,021

0,010

0,007

3

-0,706

0

0,498

0,313

0,103

4

-0,273

0

0,074

0,188

0,192

5

0,156

0

0,024

0,184

-0,042

6

0,285

0

0,081

0,017

0,044

7

1,085

1

1,177

0,640

0,309

8

-0,934

1

0,873

4,077

-1,014

9

0,005

0

0,000

0,883

-0,005

10

0,355

1

0,126

0,123

0,002

11

-0,914

1

0,835

1,612

-0,325

12

0,180

0

0,032

1,197

-0,165

13

2,121

1

4,500

3,769

0,382

14

-0,446

1

0,199

6,590

-0,946

15

0,102

1

0,010

0,300

-0,045

16

-0,527

-

0,278

0,396

-0,054

Сумма

2,298

8

12,733

25,297

-1,555

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=8

Рассчитаем значение q:



Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=8, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона



В нашем случае d2<d<2, 1,37<1,987<2. Уровни ряда остатков являются независимыми.


б) по первому коэффициенту автокорреляции


Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1), то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)|=0,122таб=0,32 – условие независимости выполняется.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax Emin)/S,

где Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t),



Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t),

S - среднее квадратическое отклонение;

Emax=2,121

Emin=-0,934
RS= (2,121-(-0,934))/0,92=3,41

Полученное значение попадает в заданный интервал, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.



  1. Построение точечного прогноза

Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20).

Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16.

Рассчитав значения a(16), b(16) можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t).

Для t=17 имеем:



Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)=49,7

Yp(18)=Yp(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16+2-4)=62,2

Yp(19)=Yp(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16+3-4)=74,7

Yp(20)=Yp(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16+4-4)= 46,2

Рис. 1




Задание № 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных (таб. 6).

Таблица 6


Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

600

550

555

2

560

530

530

3

536

501

524

4

545

521

539

5

583

540

569

6

587

562

581

7

582

561

562

8

573

556

573

9

610

579

592

10

645

585

645


Решение:

  1. Экспоненциальная скользящая средняя.


EMAt= Ct*k+EMAt-1*(1-k),
где k=2/(n+1)

Ct цена закрытия t-го дня

Таблица 7



Расчет 10-дневной ЕМА и ее сравнение с МА

Дни

Цены

МАt

EMAt

(графа4-графа5)

(Ct- МАt)

(графа4-графа6)

(Ct- ЕМАt)

макс. цена

Ht

мин. цена

Lt

цена закрытия

Ct

1

2

3

4

5

6

7

8

1

600

550

555

 

 

 

 

2

560

530

530

 

 

 

 

3

536

501

524

 

 

 

 

4

545

521

539

 

 




 

5

583

540

569

543,4

543,4

25,6

25,6

6

587

562

581

548,6

555,9

32,4

25,1

7

582

561

562

555

558,0

7

4,0

8

573

556

573

564,8

563,0

8,2

10,0

9

610

579

592

575,4

572,6

16,6

19,4

10

645

585

645

590,6

596,8

54,4

48,2




  1. Момент


MOMt=Ct – Ct-n

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении




  1. Скорость изменения цен




ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.


  1. Индекс относительной силы


,

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;



AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 8



Расчет МОМ, ROC и RSI

Дни

Цена закрытия

Ct

МОМ

ROC

повышение цены

понижение цены

Сумма повышения AU

Сумма понижения AD

RSI

1

555

 

 

 

 

 

 

 

2

530

 

 

 

25

 

 

 

3

524

 

 

 

6

 

 

 

4

539

 

 

15

 

 

 

 

5

569

14

102,5

30

 

 

 

 

6

581

51

109,6

12

 

57

31

64,8

7

562

38

107,3

 

19

57

25

69,5

8

573

34

106,3

11

 

68

19

78,2

9

592

23

104,0

19

 

72

19

79,1

10

645

64

111,0

53

 

95

19

83,3




  1. Стохастические линии (таб. 9).


%Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5);

%Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5);

;

где Ct – цена закрытия текущего дня.



L5 и H5 – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Таблица 9


Рис. 2


Рис. 3


Рис. 4


Рис. 5


Рис. 6



Задание №3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 10. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.


Таблица 10

сумма

Дата начальная

Дата конечная

Время в днях

Время в годах

ставка

Число начислений

S

Тн

Тк

Тдн

Тлет

i

m

3 000 000

14.01.02

18.03.02

90

5

35

4

  1. Банк выдал ссуду, размером 3 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 14.01.02, возврата – 18.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 35 % годовых. Найти:

    • точные проценты с точным числом дней ссуды;

    • обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

    • обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.


Решение:

I = S·n·i

где n = t/K



  • t=17+28+17+1=63

К = 365; t = 63; I = 3 000 000 · 63 / 365 · 0,35 = 181 232,88 руб.;

  • К = 360; t = 53; I = 3 000 000 · 63 / 360 · 0,35 = 183 750 руб.;

  • t = 16 + 30 + 18 = 64

К = 360; t = 64; I = 3 000 000 · 64 / 360 · 0,35 = 186 666,67 руб.


  1. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 3 000 000 руб. Кредит выдан под 35% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?


Решение:

- первоначальная сумма;

D = SP - дисконт.

2 758 620,69 руб.

D = 3 000 000 – 2 758 620,69 = 241 379,31 руб.


  1. Через 9 дней предприятие должно получить по векселю 3 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.


Решение:
D = S·n·d - дисконт;

P = SD - полученная сумма.
D = 3 000 000 · 0.35 · 90 / 360 = 262 500 руб.

P = S – D = 3 000 000 – 262 500 = 2 737 500 руб.


  1. В кредитном договоре на сумму 3 000 000 руб. и сроком 5 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 35% годовых. Определить наращенную сумму.


Решение:

S = P(1+i)n
S = 3 000 000 · (1 + 0.35)5 = 13 452 099 руб.


  1. Ссуда, размером 3 000 000 руб. предоставлена на 5 года. Проценты сложные, ставка – 35% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.


Решение:

S = P(1+j/m)N

Число периодов начисления в году m=4


S = 3 000 000 · (1+0,35 / 4)20 = 16 058 552 руб.


  1. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в году, исходя из номинальной ставки 35% годовых.


Решение:
iэ = (1+j/m)m – 1

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.


iэ = (1+0,35/4)4 – 1 = 0,3986 или 39,86%


  1. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 35% годовых.


Решение:

j = m[( 1+iэ )1/m – 1]
j = 4·[( 1+0.35)1/4 – 1] = 0,3116 т.е. 31,16%


  1. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 35% годовых.


Решение:


669 040,5 руб.



  1. Через 5 года по векселю должна быть выплачена сумма 3 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 35% годовых. Определить дисконт.


Решение:

P = S(1 - dсл)n

где dсл – сложная годовая учетная ставка
P = 3 000 000 · (1 – 0,35)5 = 348 087 руб.

D = S – P = 3 000 000 – 348 087 = 2 651 913 руб.



  1. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3 000 000, на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 35%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.


25 061 522 млн. руб.


скачать файл



Смотрите также:
Контрольная работа по дисциплине финансовая математика Вариант №6 Задание 1
349.02kb.
Контрольная работа По дисциплине «Теория финансового менеджмента» Вариант
64.86kb.
Контрольная работа по дисциплине «Маркетинг» вариант №3
146.88kb.
Контрольная работа по дисциплине «Налоги налогообложение» Вариант №5 Проверила: Горяинова О. В. Липецк 2009 Задача 1
22.1kb.
Контрольная работа Обществознание 8 класс Тема: Личность и мораль Вариант 1 Выберите правильный вариант(ы ) ответа из предложенных
33.36kb.
Учебная программа для специальности: (рабочий вариант) 1-310301-02 Математика
119.03kb.
Контрольная работа По дисциплине: «Маркетинг» Вариант студент 3 курса Факультет: Учетно статистический
152.07kb.
Задание на контрольную работу по дисциплине «Материалы и компоненты и к у»
17.14kb.
Контрольная работа по дисциплине «Маркетинг» вариант 35 Содержание Особенности персональной продаж
199.53kb.
Контрольная работа №1 Вариант №1
19.21kb.
Конрольная работа по биологии-вариант-2 (11 класс) Задание-1
23.86kb.
Методические указания к выполнению контрольной работы по учебной дисциплине «Математика» для подготовки бакалавров по программе ооп
236.54kb.