voeto.ru страница 1
скачать файл
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків

2013-2014 н.р.

Відповіді та вказівки

9 клас

  1. Побудувати графік функції .

Відповідь. Враховуючи, що , маємо , тобто

  1. З’ясуйте, при яких значеннях параметра а параболи

у =х2+2013х+а та у= х2+ах+2013 мають точку дотику?

Відповідь: та .

  1. Точка – середина сторони трикутника . На відрізку відмітили точки і так, що і . Доведіть, що .

Розв’язання. Проведемо . Оскільки , то трикутники і рівні за гіпотенузою і гострим кутом. З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних сторін: і . Оскільки , то і . Так як і , то трикутники і рівні за двома катетами. З рівності цих трикутників випливає рівність відповідних кутів: , тобто , що і треба було довести.

  1. Доведіть, що серед будь-яких дев’яти дільників числа знайдуться два, добуток яких є квадратом натурального числа.

Розв’язання. Усі дільники числа мають вигляд , де – цілі невід’ємні числа. Розіб’ємо їх усі на 8 типів: два дільники попадають в один клас, якщо у них парність степеня кожного з трьох множників – , , однакова. Таким чином, якщо вибрані 9 дільників, то за принципом Діріхле принаймні два з них будуть мати один тип. Якщо тепер перемножити ці два дільники, то їхній добуток буде мати вигляд

, що й треба було довести.

5. На дошці записано число 2013. Двоє гравців по черзі віднімають від записаного на дошці числа будь-який його дільник й одержану різницю записують замість попереднього числа. Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число 0. З’ясуйте, хто з гравців може забезпечити собі виграш? Відповідь обґрунтуйте.

Розв’язання. Нескладно помітити, що всі непарні числа мають тільки непарні дільники. Отже якщо гравець ходить з непарного числа, то йому доведеться записати на дошці парне число. Звідси маємо стратегію для другого гравця: кожним своїм ходом віднімати від записаного числа 1. Тоді перший гравець завжди буде починати з непарного числа і записувати парне число. Оскільки числа на дошці постійно зменшуються, колись перший гравець буде змушений записати .

Відповідь: Виграє другий гравець.
скачать файл



Смотрите также:
Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2013-2014 н р. Відповіді та вказівки
18.84kb.
Ііі етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії
87.55kb.
Міжнародна олімпіада іт-планета Оргкомітет Всеукраїнської Олімпіади «it-планета україна 2012-2013»
68.67kb.
План заходів щодо організації та проведення І-ІІ турів всеукраїнської студентської олімпіади 2008/2009 навч року
58.89kb.
Порядок проведення відкритої Всеукраїнської студентської олімпіади з програмування
206.95kb.
Результати ІІІ (міського) етапу Всеукраїнської олімпіади з правознавства м. Київ, 2009 р. 9 Клас
155.61kb.
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з біології
66kb.
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади із зарубіжної літератури 2008-2009 н р
47.88kb.
Завдання І (шкільного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з української мови та літератури
14.93kb.
Відомості про переможців ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади
126.4kb.
Завдання III етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з інформатики 23 січня 2010 р
26.58kb.
Список переможців ІІ (міського в м. Харкові) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з фізики І місце
100.23kb.